गणित में संख्या पद्धति (number system in maths
number system in maths में विभिन्न प्रकार की संख्याओं, उन पर किए जाने वाले अभिकलन (computation), और संख्याओं के पारस्परिक संबंधों का अध्ययन किया जाता है। आइए इसे विस्तार से समझते हैं:
संख्याओं के प्रकार (Types of Numbers)
1. प्राकृतिक संख्याएँ (Natural Numbers – N)
- वे संख्याएँ जिनसे वस्तुओं की गणना की जाती है।
- केवल धनात्मक संख्याएँ।
- उदाहरण: 1, 2, 3, 4, 5,…
- नोट: 0 प्राकृतिक संख्या नहीं है।
2. पूर्ण संख्याएँ (Whole Numbers – W)
- प्राकृतिक संख्याओं में 0 को भी जोड़ दिया जाए।
- उदाहरण: 0, 1, 2, 3, 4, 5,…
3. पूर्णांक संख्याएँ (Integers – T या Z)
- पूर्ण संख्याओं के साथ ऋणात्मक संख्याएँ भी शामिल होती हैं।
- उदाहरण: …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
विशेष वर्गीकरण:
- धनात्मक पूर्णांक: 1, 2, 3, 4,…
- ऋणात्मक पूर्णांक: -1, -2, -3,…
- शून्य (0) न धनात्मक है, न ऋणात्मक।
4. सम संख्याएँ (Even Numbers)
- जो संख्याएँ 2 से पूरी तरह विभाजित हो जाती हैं।
- उदाहरण: 2, 4, 6, 8,…
5. विषम संख्याएँ (Odd Numbers)
- जो संख्याएँ 2 से पूरी तरह विभाजित नहीं होती हैं।
- उदाहरण: 1, 3, 5, 7,…
6. अभाज्य संख्याएँ (Prime Numbers)
- जिनके केवल दो भाजक होते हैं: 1 और स्वयं।
- उदाहरण: 2, 3, 5, 7, 11,…
- 2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है।
7. भाज्य संख्याएँ (Composite Numbers)
- जिनके 1 और स्वयं के अलावा अन्य भी भाजक होते हैं।
- उदाहरण: 4, 6, 8, 9, 12,…
8. सह-अभाज्य संख्याएँ (Co-Prime Numbers)
- जिन दो संख्याओं का मात्र एक सामान्य भाजक 1 हो।
- उदाहरण: 15 और 16।
9. परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers – Q)
- जिन्हें pq\frac{p}{q} के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q≠0q ≠ 0।
- उदाहरण: 35\frac{3}{5}, −72\frac{-7}{2}, 4 (4 को 41\frac{4}{1} लिखा जा सकता है)।
10. अपरिमेय संख्याएँ (Irrational Numbers)
- जिन्हें pq\frac{p}{q} के रूप में नहीं लिखा जा सकता।
- उदाहरण: 2\sqrt{2}, 5\sqrt{5}, π।
11. वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers – R)
- परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का समूह।
- उदाहरण: 34\frac{3}{4}, π, 5\sqrt{5} आदि।
संख्याओं पर मौलिक संक्रियाएँ (Fundamental Operations)
1. जोड़ (Addition)
- एक या अधिक संख्याओं को मिलाकर एक संख्या प्राप्त करना।
- चिह्न: ++
- सूत्र:
- 1 से n तक प्राकृतिक संख्याओं का योग:
Sum=n(n+1)2\text{Sum} = \frac{n(n + 1)}{2}
- 1 से n तक संख्याओं के वर्गों का योग:
Sum of squares=n(n+1)(2n+1)6\text{Sum of squares} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}
- 1 से n तक संख्याओं के घनों का योग:
Sum of cubes=(n(n+1)2)2\text{Sum of cubes} = \left( \frac{n(n + 1)}{2} \right)^2
2. घटाव (Subtraction)
- एक संख्या में से दूसरी संख्या को निकालना।
- चिह्न: −-
3. गुणा (Multiplication)
- एक संख्या को दूसरी संख्या के गुणज के रूप में प्रस्तुत करना।
- चिह्न: ××
4. भाग (Division)
- एक संख्या को दूसरी संख्या से विभाजित करना।
- चिह्न: ÷÷
सूत्र:
भाज्य=(भाजक×भागफल)+शेषफल\text{भाज्य} = (\text{भाजक} × \text{भागफल}) + \text{शेषफल}
VBODMAS नियम
सभी गणनाओं का सही क्रम:
- V = दण्ड कोष्ठक (| |)
- B = कोष्ठक ( ( ), [ ], { } )
- O = घातांक (Power)
- D = भाग (÷)
- M = गुणा (×)
- A = जोड़ (+)
- S = घटाना (-)
भिन्न (Fractions)
1. साधारण भिन्न (Simple Fraction)
pq,q≠0\frac{p}{q}, \quad q ≠ 0
2. संक्षिप्त भिन्न (Reduced Fraction)
- जब अंश और हर में कोई सामान्य भाजक नहीं होता।
- उदाहरण: 34,59\frac{3}{4}, \frac{5}{9}
3. उचित और अनुचित भिन्न
- उचित भिन्न: अंश < हर (जैसे 35\frac{3}{5})
- अनुचित भिन्न: अंश > हर (जैसे 94\frac{9}{4})
4. मिश्र भिन्न (Mixed Fraction)
- पूर्णांक + उचित भिन्न।
- उदाहरण: 4344 \frac{3}{4}
5. व्युत्क्रम भिन्न (Reciprocal Fraction)
- किसी भिन्न के अंश और हर को उलट देना।
- उदाहरण: 511\frac{5}{11} का व्युत्क्रम 115\frac{11}{5}।
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